Degré de liberté

L'expression degré de liberté recouvre la notion indiquant la possibilité pour un dispositif d'évoluer dans une direction non contrainte, et implique donc la possibilité de dénombrer ces paramètres.

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Concept fondamental de la physique - Chimie générale

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L'expression degré de liberté recouvre la notion indiquant la possibilité pour un dispositif d'évoluer dans une direction non contrainte (en fonction par conséquent d'un paramètre), et implique donc la possibilité de dénombrer ces paramètres. Cette notion est utilisée en chimie, mathématiques et physique.

En mécanique

La notion de degré de liberté est fréquemment employée, et tout spécifiquement en mécanique. Elle recouvre deux considérations :

pour chaque particule appartenant à un dispositif, et pour chaque direction indépendante dans laquelle un mouvement est envisageable, deux degrés de liberté sont définis, l'un décrivant la quantité de mouvement dans la direction, l'autre décrivant la position de la particule le long d'un axe défini dans cette direction.
en ingénierie mécanique, les degrés de liberté indiquent les différentes possibilités de mouvement dans l'espace. Se référer à l'article degré de liberté (mécanique) . Cette utilisation de l'expression est comparable à celle utilisée dans la typologie des vibrations moléculaires.

Dans le dernier cadre évoqué (description des mouvements moléculaires), deux types de degrés de liberté sont identifiés : les degrés de liberté externes au nombre de 6, correspondant aux mouvements de la molécule dans l'espace (translations et rotations), et les degrés de liberté internes, correspondant aux déformations de la molécule comparé à sa conformation d'équilibre.

En mécanique et thermodynamique statistiques

En mécanique statistique, un degré de liberté est un nombre scalaire singulier décrivant le micro-état d'un dispositif. Ce micro-état est totalement décrit par la totalité des valeurs de tous ses degrés de liberté.
Si le dispositif étudié peut être décrit comme un ensemble de particules mécaniques, les degrés de liberté sont alors définis de la même manière qu'en mécanique. Ainsi, un micro-état du dispositif est un point de l'espace des phases.
On doit noter que pour un dispositif, un micro-état défini en utilisant des degrés de liberté est de manière intrinsèque un état classique, ceci à cause de la violation du principe d'incertitude d'Heisenberg qu'entrainerait une définition simultanée précise de la position et de la quantité de mouvement. La description d'un dispositif par un ensemble de degrés de liberté est par conséquent ainsi valide dans la limite classique (ou de haute température) de la mécanique statistique.
Occasionnellement, quand le dispositif n'est pas décrit de manière appropriée par un ensemble de particules mécaniques, d'autres types de degrés de liberté doivent être définis. A titre d'exemple, dans le modèle de chaine parfaite tridimensionnel, deux angles sont nécessaires pour décrire l'orientation de chaque monomère. La valeur de chacun de ces angles peut être un degré de liberté.

Exemple du gaz diatomique classique parfait

Différentes façons de visualisation d'une molécule en forme d'haltères. CM est le centre de masse du dispositif, T est un mouvement de translation, R de rotation, V de vibration.

En trois dimensions, il existe 6 degrés de liberté associés au mouvement d'une particule, 3 pour sa position, 3 pour sa quantité de mouvement. Il existe par conséquent 6 degrés de liberté au total. Une autre façon de justifier ce schéma est de considérer que le mouvement de la molécule sera décrit par le mouvement de deux particules mécaniques représentant ses deux atomes, que 6 degrés de liberté sont attachés à chaque particule, comme ci-dessus. Avec cette autre considération, il apparaît que différents ensembles de degrés de liberté peuvent être définis pour définir le mouvement de la molécule. En fait les degrés de liberté pour un dispositif mécanique est un ensemble d'axes indépendants dans l'espace des phases du dispositif, ce qui sert au générer entièrement. Pour un espace multidimensionnel comme l'espace des phases, il existe plus d'un ensemble envisageable d'axes. Il est établi que l'ensemble des degrés de liberté de la molécule d'hydrogène ne participent pas à l'expression de son énergie. A titre d'exemple, les degrés associés à la position du centre de masse n'y participe pas.
Dans le tableau ci-dessous, les degrés négligés le sont à cause de leur faible influence sur l'énergie totale, à moins d'être à particulièrement hautes températures ou énergies. La rotation diatomique est négligée à cause de la rotation autour des axes moléculaires. La rotation monoatomique est négligée pour la même raison que la diatomique, mais cet effet est valable dans les deux autres directions.

	Monoatomique	Molécules linéaires	Molécules non-linéaires
Position (x, y et z)	3	3	3
Rotation (x, y et z)	0	2	3
Vibration	0	3N - 5	3N - 6
Total	3	3N	3N

Degrés de liberté indépendants

Définition

La totalité de degrés de liberté $X_1, \ldots, X_N$ d'un dispositif est indépendant si l'énergie associée avec la totalité peut être écrite sous la forme suivante :

$E = \sum_{i=1}ˆN E_i(X_i),$

où $E i$ est une fonction de l'unique variable $X i$ .
Exemple : si $X 1$ et $X 2$ sont deux degrés de liberté, et $E$ est l'énergie associée :

si $E = X_1ˆ4 + X_2ˆ4$ , alors les deux degrés de liberté sont indépendants.
si $E = X_1ˆ4 + X_1 X_2 + X_2ˆ4$ , les deux degrés de liberté ne sont pas indépendants. Le terme impliquant le produit de $X 1$ et $X 2$ est un terme de couplage, qui décrit une interaction entre deux degrés de liberté.

Propriétés

Si $X_1, \ldots, X_N$ est un ensemble de degrés de liberté indépendants alors, à l'équilibre thermodynamique, $X_1, \ldots, X_n$ sont statistiquement indépendants les uns des autres.
Pour i de 1 à N, la valeur du i^e degré de liberté $X i$ est distribué selon une loi de Boltzmann. Sa fonction de densité de probabilité est la suivante :

$p_i(X_i) = \frac{eˆ{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, eˆ{-\frac{E_i}{k_B T}}}$ ,

Dans cette section, et ensuite, les $\langle \rangle$ indiquent la moyenne de la quantité qu'ils entourent.
L'énergie interne du dispositif est la somme des énergies moyennes associées à chacun des degrés de liberté :

$\langle E \rangle = \sum_{i=1}ˆN \langle E_i \rangle$

Démonstrations

On postulera ensuite que les échanges d'énergie du dispositif reconnu se font avec l'extérieur, et que le nombre de particules du dispositif est constant, c'est-à-dire qu'on se place dans l'ensemble canonique. Rappelons qu'en physique statistique, un résultat qui est démontré pour un dispositif reste vrai pour ce dispositif à la limite thermodynamique dans n'importe quel ensemble. Dans la totalité canonique, à l'équilibre thermodynamique, l'état du dispositif est distribué parmi les micro-états selon une distribution de Boltzmann. Si $T$ est la température du dispositif et $k B$ la constante de Boltzmann, alors la fonction de densité de probabilité associée à chaque micro-état est la suivante :

$P(X_1, \ldots, X_N) = \frac{eˆ{-\frac{E}{k_B T}}}{\int dX_1\,dX_2 \ldots dX_N eˆ{-\frac{E}{k_B T}}}$ ,

Cette expression se transforme en un produit de termes dépendant d'un simple degré de liberté :

$P(X_1, \ldots, X_N) = p_1(X_1) \ldots p_N(x_N)$

L'existence d'un tel développement de la fonction de densité de probabilité en un produit de fonction d'une seule variable suffit à lui seul à démontrer que les $X_1 \ldots X_N$ sont indépendants statistiquement les uns des autres.
Chaque fonction $p i$ étant normalisée, il s'ensuit que $p i$ est la fonction de densité de probabilité du degré de liberté $X i$ , pour i de 1 à N.
Enfin, l'énergie interne du dispositif est l'énergie moyenne. L'énergie $E i$ d'un degré de liberté est une fonction de l'unique variable $X i$ . Puisque $X_1, \ldots, X_N$ sont statistiquement indépendantes les uns des autres, les énergies $E_1(X_1), \ldots, E_N(X_N)$ le sont aussi. L'énergie interne totale du dispositif peut être alors écrite comme :

$U = \langle E \rangle = \langle \sum_{i=1}ˆN E_i \rangle = \sum_{i=1}ˆN \langle E_i \rangle$

Degrés de liberté quadratiques

Un degré de liberté $X i$ est quadratique si les termes d'énergie associés peuvent être écrits :

$E = \alpha_i\,\,X_iˆ2 + \beta_i \,\, X_i Y$ ,

où $Y$ est une combinaison linéaire d'autres degrés de liberté quadratiques.
A titre d'exemple, si $X 1$ et $X 2$ sont deux degrés de liberté, et $E$ l'énergie associé :

Si $E = X_1ˆ4 + X_1ˆ3 X_2 + X_2ˆ4$ , alors les deux degrés de liberté ne sont pas indépendants et ne sont pas quadratiques.
Si $E = X_1ˆ4 + X_2ˆ4$ , les degrés de liberté sont indépendants et non quadratiques.
Si $E = X_1ˆ2 + X_1 X_2 + 2X_2ˆ2$ , les degrés de liberté ne sont pas indépendants et sont quadratiques.
Si $E = X_1ˆ2 + 2X_2ˆ2$ , les degrés de liberté sont indépendants et quadratiques.

En mécanique

En mécanique classique, les dynamique d'un dispositif de degrés de liberté quadratiques sont contôlées par un ensemble d'équations différentielles linéaires avec des cœfficients constants.

Degrés de libertés quadratiques et indépendants

$X_1, \ldots, X_N$ sont des degrés de liberté quadratiques et indépendants si l'énergie associée à un micro-état du dispositif qu'ils décrivent peut être écrite :

$E = \sum_{i=1}ˆN \alpha_i X_iˆ2$

Théorème d'équipartition

Article détaillé : Théorème d'équipartition.

En physique statistique classique, à l'équilibre thermodynamique, l'énergie interne d'un dispositif de N degrés de liberté indépendants et quadratiques est :

$U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}$

Démonstration

Ici, l'énergie moyenne associée avec un degré de liberté est :

$\langle E_i \rangle = \int dX_i\,\,\alpha_i X_iˆ2\,\, p_i(X_i) = \frac{\int dX_i\,\,\alpha_i X_iˆ2\,\, eˆ{-\frac{\alpha_i X_iˆ2}{k_B T}}}{\int dX_i\,\, eˆ{-\frac{\alpha_i X_iˆ2}{k_B T}}}$

$\langle E_i \rangle = \frac{k_B T}{2}\frac{\int dx\,\,xˆ2\,\, eˆ{-\frac{xˆ2}{2}}}{\int dx\,\, eˆ{-\frac{xˆ2}{2}}} = \frac{k_B T}{2}$

Les degrés de libertés étant indépendants, l'énergie interne du dispositif est égale à la somme de l'énergie moyenne associée à chaque degré de liberté, ce qui démontre le résultat.

Voir aussi

Entropie
Espace des phases
Mécanique statistique
Variance (thermodynamique)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article de Wikipédia en anglais intitulé «degrees of freedom» (voir la liste des auteurs)

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